Calculs de vitesses

Vitesse d'éjection de l'eau :

tpe fsuée à eau, water rocket

Equation de Bernouilli :

V²/2g + z + P/pg = constante

     V = vitesse de l'eau (m.s-1)

     P = pression en un point (N.m-2)

     p (rho) = masse volumique (kg.m-3)

     z = altitude (m)

     g = acceleration de la pesanteur (m.s-2)

 

Si on applique l'équation de Bernouilli pour l'eau qui s'écoule entre les points 1 et 2 alors :

 

V1²/2g + z1 + P1/pg = V2²/2g + z2 +P2/pg

 

 

donc :   V2² - V1² = 2(P1-P2)/p + 2g(z1-z2)         (1)

 

Le débit d'un liquide QV  à travers une section S est le volume de ce liquide qui traverse la section en une seconde. On le calcule avec la formule :

 Qv = S.V   

    S = section (m²)tpe fsuée à eau, water rocket

    V = vitesse d'éjection du liquide (m.s-1)

    Qv = débit du liquide (m3.s-1)

 

Le débit du fluide est constant donc :

S1.V1 = S2. V2

V1 = S2.V2 / S1  

 

Remarque : Puisque le débit est constant, la vitesse d'éjection de l'eau augmente quand la section diminue :

c'est l'effet venturi

 

Si on reprend l'équation (1), on obtient :

 

V2² (1 - (S2/S1)²) = 2(P1-P2)/p + 2g.(z1-z2)          donc on obtient l'équation (2) :

 

tpe fsuée à eau, water rocket

 

Pour notre fusée, S1 = 6,4.10-3 cm2 ; S2  =  3,8.10-4 cm2 ; z1 - z2 = 0,12 m ; P1 = 8.105 Pa ; P2 = 105 Pa ;  p (eau) = 103 kg.m-3

 

  S22  /  S12  =   0,06 

    ==>    On peut donc négliger  S22  /  S12  devant  1

 

  2(P1-P2)/p  =  2.7.105/1000  =  1400 

  2g(z1-z2)  =  2,36

    ==>    On peut donc négliger 2g(z1-z2)  devant  2(P1-P2)/p

 

 donc l'équation (2) se simplifie en :

 

tpe fsuée à eau, water rocket  

 

A.N :

P1 (pression interne) = 8.105 Pa

P2 (pression atmosphérique) = 105 Pa

p (masse volumique de l'eau) = 103 kg.m-3

 

donc   V2 (vitesse d'éjection de l'eau) = 37,4 m.s-1 = 135 km.h-1

 

Cette donnée va nous permettre de calculer la poussée initiale de la fusée.

 

Vitesse de la fusée :

 

Connaître la vitesse de sa fusée est essentiel dans la réalisation de calculs de trajectoire. C'est le facteur le plus important à obtenir, mais hélas aussi l'un des plus dur !

La vitesse de la fusée à un instant t varie en permanence c'est pourquoi il est extrêmement difficile (mais c'est possible !) à notre niveau de la calculer avec un outil mathématique.

On peut néanmoins aisément calculer la vitesse moyenne avec la formule v = d/t, mais cela n'est pas très utile ni représentatif des capacités de la fusée.

Pour information : v = d/t  avec  v = vitesse moyenne (m.s-1)

                                            d = distance parcourue = 2.h (m)

                                            t = temps du vol (s)

 

A.N : v = 200 / 8.5

        v = 24 m.s-1

ou     v = 80 km.h-1

 

Ensuite, la méthode la plus simple pour trouver une vitesse instantanée est de réaliser une chronophotographie. Pour cela il suffit de filmer le départ de la fusée en posant son appareil sur un pied. Celui-ci doit être perpendicullaire au point de lancement et ne doit pas bouger pendant le tir. Un problème se pose : quand la fusée prend de l'altitude, l'angle avec l'objectif varie, c'est pourquoi il faut placer la caméra le plus éloigné possible du pas de tir, pour réduire les erreurs de parallaxe. On perd alors en précision pour déterminer l'échelle, mais cette méthode reste globalement fiable si le traitement de la video est correctement réalisé.

Divers logiciels existent pour obtenir des données à partir de la video : latispro, paintshop pro,... Nous avons choisi Avimeca car il est simple d'utilisation et permet d'obtenir des données transférables sur tableurs pour ensuite créer des courbes. Ce logiciel est en téléchargement gratuit et son tutoriel est très bien réalisé.